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Couper une pizza en parts strictement égales peut sembler un défi simple, mais cela peut rapidement devenir un casse-tête mathématique. Heureusement, des mathématiciens se sont penchés sur la question et ont mis au point des méthodes surprenantes pour garantir une distribution équitable de chaque part.
Il est possible de couper une pizza en parts égales en forme de triangle. Cependant, cette méthode donne des parts particulièrement fines et limite le nombre de parts possibles.
Des scientifiques de l’Université de Liverpool ont mis en application une méthode qui permet de découper des parts de pizza de même taille en leur donnant une forme courbe. Deux scientifiques de l’Université de Liverpool avaient réussi à couper une pizza en douze parts strictement égales. Cette fois-ci, ils ont réussi à démontrer qu’il était possible de découper autant de parts de pizza que l’on voulait, et ce, en ayant des parts de taille strictement égale.
Pour les deux hommes, ce n’est qu’une question de géométrie. Et plus précisément de géométrie circulaire. Lors de leur première expérience, les deux scientifiques ont coupé leur pizza en faisant tout d’abord six tranches courbées à trois bords. Puis, ils ont divisé chaque part de pizza en deux, créant ainsi douze parts courbées à trois côtés. Cette fois-ci, la paire de scientifiques a réussi à couper encore plus de parts de pizza de taille égale en utilisant toujours cette même méthode du monohedral tiling, c’est-à-dire un découpage où toutes les parts ont la même forme et dans ce cas la même taille.
Néanmoins, bien que mathématiquement on puisse diviser une pizza en autant de parts que l’on veut, l’application sur une vraie pizza à ses limites. En effet, il arrive un moment où les parts sont trop petites pour être découpées.
Malgré l’originalité de l’idée, impliquer le découpage d’une pizza dans une discussion mathématique n’a absolument rien de nouveau. En effet, le découpage de pizza est, aussi étrange que cela puisse paraître, très étudié dans le domaine des mathématiques. Parce que les mathématiciens aiment la pizza ? La pause-déjeuner devrait être l’occasion de se détendre en compagnie d’un collègue de travail - le plus difficile étant de décider ce qu’on veut manger et boire. Mais, pour Rick Mabry et Paul Deiermann, les choses ne sont pas aussi simples. Le problème qui les préoccupe est le suivant : admettons que le serveur, distrait, coupe la grande pizza de manière décentrée, mais en traçant tout de même des droites qui se croisent en un même point. Si ce point ne correspond pas au centre du rond de pâte, les parts ne seront pas égales. Comment, dans ce cas, savoir si deux personnes qui prennent à tour de rôle des parts voisines obtiendront la même quantité de pizza ? Comment déterminer celle qui en aura le plus ?
Comme pour de nombreuses énigmes mathématiques, la solution a été obtenue par étapes, en étudiant les diverses possibilités. Dans l’exemple le plus facile à imaginer, au moins une des lignes de coupe passe par le centre de la pizza. Un croquis rapide montre qu’il y a une symétrie de part et d’autre de cette ligne : les parts forment des paires avec celles qui sont situées de l’autre côté de la ligne. La pizza peut donc être divisée également entre les deux convives, indépendamment du nombre de fois qu’on la coupe. Jusqu’ici, tout va bien… Mais si aucune des lignes ne passe par le centre ? Pour une pizza coupée en deux, la réponse est évidente : celui qui obtient la part où se trouve le centre a la plus grosse portion. Pour une pizza coupée en quatre, le résultat est le même. Mais il s’agit d’une exception aux trois règles générales qui régissent la division d’une pizza et qui constituent le “théorème de la pizza”.
Selon la première règle, si vous coupez une pizza un nombre pair de fois (plus de deux) en passant par un point précis, le plat peut être divisé également entre deux convives s’ils alternent en prenant des parts voisines. Cet aspect du problème a été étudié pour la première fois en 1967 par L.J. Upton dans Mathematics Magazine (vol. 40, p. 163). Upton n’avait pas pris la peine d’étudier le cas d’une pizza coupée deux fois : il avait simplement demandé aux lecteurs de prouver qu’une pizza coupée quatre fois - en huit parts - pouvait être partagée également entre deux personnes. La solution générale pour un nombre de coupes supérieur à quatre, et toujours pair, a ensuite été découverte en 1968 en réponse au défi qu’avait lancé Upton.
Mais les choses se compliquent lorsque la pizza est coupée un nombre impair de fois. Selon le théorème de la pizza, pour une pizza coupée 3, 7, 11, 15… fois sans qu’aucune des lignes de coupe passe par le centre, la personne qui obtient la part où se trouve le centre aura plus à manger que l’autre. Mais démontrer ce théorème s’est révélé difficile. Tellement difficile que Mabry et Deiermann viennent seulement de mettre la dernière main à une démonstration couvrant l’ensemble des possibilités. C’est en 1994 qu’a débuté leur quête. Ils ont relevé un défi posé par Mathematics Magazine (vol. 67, p. 304). “Peut-être qu’à notre place la plupart des mathématiciens auraient pensé : ‘Si les auteurs sont incapables d’apporter une solution, je ne vais pas tenter le coup’, a dit Mabry. Mais nous avons été assez stupides pour essayer.” Deiermann a rapidement élaboré une solution au problème des six parts - “l’une des plus intelligentes que j’aie jamais vue”, se rappelle Mabry. Les deux mathématiciens ont ensuite réussi à démontrer l’hypothèse des dix parts - bien que de nouveaux problèmes aient surgi au cours de la démonstration.
Encouragés par leur succès, les deux mathématiciens ont pensé avoir découvert une technique permettant de prouver une fois pour toutes l’ensemble des cas envisageables. En comparant la surface des parts opposées, et en additionnant les différences. En principe, la technique est simple. En pratique, toutefois, il est extrêmement difficile de trouver une solution couvrant l’ensemble des nombres impairs de coupes. Mabry et Deiermann ont tenté, par une astuce géométrique ingénieuse, de simplifier le problème.
Malheureusement, la solution nécessitait toujours l’utilisation de formules très élaborées. Et même si Mabry et Deiermann n’avaient pas besoin d’un résultat précis, ils devaient tout de même savoir si celui-ci était positif ou négatif pour déterminer qui obtiendrait la plus grosse portion. “Ça nous a pris onze ans pour trouver la solution”, a indiqué Mabry. Les deux hommes ont utilisé des programmes informatiques pour tester leurs résultats, mais ce n’est que lorsque Mabry a mis de côté les moyens technologiques qu’il a pu avoir une vision claire du problème. Il a réussi à remodeler ses calculs algébriques pour obtenir une formule plus élégante et plus maniable. Il a fini par trouver ce qu’il cherchait dans un article de 1999 citant un énoncé mathématique de 1979. C’est là qu’il a trouvé les outils dont Deiermann et lui avaient besoin pour démontrer si l’algèbre complexe des bandes rectangulaires donnait des résultats positifs ou négatifs. Le reste de la preuve a ensuite commencé à se mettre en place (The American Mathematical Monthly, vol. 116, p. 423).
La solution au théorème de la pizza facilitera-t-elle la résolution d’autres problèmes pratiques importants ? Pas vraiment - et Mabry ne semble pas s’en préoccuper outre mesure. “C’est ce qu’il y a de drôle chez certains mathématiciens, explique-t-il. Souvent, nous accordons peu d’importance au fait que les résultats aient des applications ou non. La beauté des résultats nous suffit en elle-même.”
La semaine dernière, nous avons ensemble appris que découper une tarte n'en ai pas vraiment une, surtout que personne n'a protesté quand j'ai proposé l'idée de découper une tarte aux litchis avec un compas. Non, le grand talent du coupeur de tarte, c'est de manier le couteau avec un compas dans l'œil... Mais le vrai coupeur de tarte garde toujours en poche son amie trigonométrie... Prenons une tarte quelconque (aux yuzus, par exemple), six invités affamés et un couteau.
Partager cette tarte en 6 avec un compas est un jeu d'enfant, mais peut-on vraiment garder un compas dans une cuisine... Je ne veux pas débattre de cette pertinente question maintenant, un autre jour peut-être. Toujours est-il que nous avons une tarte à couper en 6, et seulement un couteau pour réaliser ce prodige. Puisque 6=3×2, l'idée principale est de commencer par couper la tarte en 2, et de couper chaque part en 3. Couper en 2, ce n'est pas la chose la plus compliquée qui soit, mais partager en 3 est bien moins évident.
Et c'est là que la trigonométrie fait son apparition remarquable : pour couper une tarte en 6, il faut faire des parts de 360°/6=60°. Et le cosinus de 60°, c'est précisément 0.5. Certes. Et alors ? Et d'abord, c'est quoi le cosinus d'un angle ? On connait bien le cosinus de 60°, c'est 0,5. Une fois le diamètre coupé, il y a juste à prendre le milieu du segment [OA], et de remonter perpendiculairement pour obtenir les points C et C'. Bon, ça, c'est pour la tarte à 6 parts, mais si un invité n'aime pas les yuzus, comment faire pour la tarte à 5 parts ?
En partant du même principe, on a cos(72°) = 0.309 ( (√5-1)/4 , pour être précis), c'est à dire, un peu moins de un tiers. On cherche donc au couteau l'a peu près tiers de [OA], et on remonte pour trouver les points C et C'. Et pour la découpe à 7 parts, il faut prendre le cosinus de 51,42°, qui vaut environ 0,62 (a peu près deux tiers, la valeur exacte demandant des racines carrées de nombres complexes). En calculant les cosinus des différents angles à la calculette, on peut obtenir n'importe quelle découpe de tarte (enfin, avec un trop grand nombre de parts, on perd évidemment en précision, et les invités risquent de râler sur la non égalité de leur part...)
Mais revenons à notre tarte au yuzus à découper cette fois si en 9 parts égales. 9=3×3, ce n'est donc pas un nombre de parts constructibles à la règle et au compas, il va falloir trouver autre chose. On peut partir sur cos(360°/69)=0,766 (grosso modo 3/4), et appliquer la technique décrite un peu plus haut. Il existe heureusement LA technique qui fera son effet en société !
Et voilà, vous obtenez 9 parts égales en surface !
| Nombre de parts | Méthode | Outils |
|---|---|---|
| Pair | Coupes passant par un point précis | Couteau |
| Impair (3, 7, 11...) | Théorème de la pizza | Couteau, connaissances mathématiques |
| 6 | Trigonométrie (cosinus de 60°) | Couteau, calculatrice (optionnel) |
| 9 | Découpe en 8 puis ajustement | Couteau |
Les scientifiques de l'université de Liverpool (Royaume-Uni) ont ainsi découvert que les résultats d'un casse-tête mathématique pouvaient être appliqués à l'art de la découpe de pizza, un domaine étrangement très étudié en géométrie. Pour parvenir à ces conclusions, le doctorant Joel Haddley et le futur doctorant Stephen Worsley ont commencé par tenter d'imaginer comment diviser un disque en unités de même taille. "Mathématiquement parlant, il n'y a aucune limite. On peut découper une pizza de cette façon à l'infini", a confié Joel Haddley.
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